Límite de una función en un punto
El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0.
Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.
| x | f(x) |
|---|---|
| 1,9 | 3,61 |
| 1,99 | 3,9601 |
| 1,999 | 3,996001 |
| ... | ... |
| ↓ | ↓ |
| 2 | 4 |
| x | f(x) |
|---|---|
| 2,1 | 4.41 |
| 2,01 | 4,0401 |
| 2,001 | 4,004001 |
| ... | ... |
| ↓ | ↓ |
| 2 | 4 |
Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.
Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición |x - x0| < δ , se cumple que |f(x) - L| <ε .
También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:
si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio 
, existe un entorno de x0 , Eδ(x0) , cuyos elementos (sin contar x0), tienen sus imágenes dentro del entorno de L , Eε(L).
[2, +∞)